פתור את {l}{45+.25x=y}{35+.30x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=200$$

$$y=95$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$45+0.25x-y=0$$

החסר ‎45 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$0.25x-y=-45$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$35+0.3x-y=0$$

החסר ‎35 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$0.3x-y=-35$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$0.25x-y=-45$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$0.25x=y-45$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=4\left(y-45\right)$$

הכפל את ‎4 ב- ‎y-45.

$$x=4y-180$$

השתמש ב- ‎-180+4y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

הכפל את ‎0.3 ב- ‎-180+4y.

$$1.2y-54-y=-35$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎-y.

$$0.2y-54=-35$$

הוסף ‎54 לשני אגפי המשוואה.

$$0.2y=19$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=95$$

השתמש ב- ‎95 במקום y ב- ‎x=4y-180. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=4\times 95-180$$

הכפל את ‎4 ב- ‎95.

$$x=380-180$$

הוסף את ‎-180 ל- ‎380.

$$x=200$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=200,y=95$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$45+0.25x-y=0$$

החסר ‎45 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$0.25x-y=-45$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$35+0.3x-y=0$$

החסר ‎35 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$0.3x-y=-35$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=200,y=95$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$45+0.25x-y=0$$

החסר ‎45 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$0.25x-y=-45$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$35+0.3x-y=0$$

החסר ‎35 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$0.3x-y=-35$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

החסר את ‎0.3x-y=-35 מ- ‎0.25x-y=-45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

הוסף את ‎\frac{x}{4} ל- ‎-\frac{3x}{10}.

$$-0.05x=-45+35$$

הוסף את ‎-45 ל- ‎35.

$$-0.05x=-10$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-20.

$$x=200$$

השתמש ב- ‎200 במקום x ב- ‎0.3x-y=-35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$0.3\times 200-y=-35$$

הכפל את ‎0.3 ב- ‎200.

$$60-y=-35$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-95$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=95$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=200,y=95$$