פתור את {l}{40x+30y=500}{60x+15y=600}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$40x+30y=500$$

החסר ‎30y משני אגפי המשוואה.

$$40x=-30y+500$$

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{40} ב- ‎-30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

הכפל את ‎60 ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=600$$

הוסף את ‎-45y ל- ‎15y.

$$-30y+750=600$$

החסר ‎750 משני אגפי המשוואה.

$$-30y=-150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-30.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎5.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

הוסף את ‎\frac{25}{2} ל- ‎-\frac{15}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{35}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

כדי להפוך את ‎40x ו- ‎60x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎60 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

פשט.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

החסר את ‎2400x+600y=24000 מ- ‎2400x+1800y=30000 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

הוסף את ‎2400x ל- ‎-2400x. האיברים ‎2400x ו- ‎-2400x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$1800y-600y=30000-24000$$

הוסף את ‎1800y ל- ‎-600y.

$$1200y=30000-24000$$

הוסף את ‎30000 ל- ‎-24000.

$$1200y=6000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎1200.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎60x+15y=600. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$60x+15\times 5=600$$

הכפל את ‎15 ב- ‎5.

$$60x+75=600$$

החסר ‎75 משני אגפי המשוואה.

$$60x=525$$

חלק את שני האגפים ב- ‎60.

$$x=\frac{35}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$