פתור את {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$x+4y=-34$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4y-5x=-70$$

הוסף ‎5x לשני אגפי המשוואה.

$$4y=5x-70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

הוסף את ‎5x ל- ‎x.

$$6x-70=-34$$

הוסף ‎70 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{35}{2} ל- ‎\frac{15}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-10,x=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$x+4y=-34$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-10,x=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎4y משני הצדדים.

$$x+4y=-34$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

החסר את ‎4y+x=-34 מ- ‎4y-5x=-70 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-4y. האיברים ‎4y ו- ‎-4y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5x-x=-70+34$$

הוסף את ‎-5x ל- ‎-x.

$$-6x=-70+34$$

הוסף את ‎-70 ל- ‎34.

$$-6x=-36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎4y+x=-34. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$4y+6=-34$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$4y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-10,x=6$$