פתור את {l}{4x-3y=1}{5x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-3y=1$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=3y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+1}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=7$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+y=7$$

הוסף את ‎\frac{15y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{4}y=\frac{23}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{23}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{19} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{23}{19}+\frac{1}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3}{4} ב- ‎\frac{23}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{69}{76}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎\frac{69}{76} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}+\frac{3}{19}\times 7\\-\frac{5}{19}+\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4y=4\times 7$$

פשט.

$$20x-15y=5,20x+4y=28$$

החסר את ‎20x+4y=28 מ- ‎20x-15y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x-15y-4y=5-28$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-4y=5-28$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-4y.

$$-19y=5-28$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-28.

$$-19y=-23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=\frac{23}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{23}{19} במקום y ב- ‎5x+y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+\frac{23}{19}=7$$

החסר ‎\frac{23}{19} משני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{110}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{22}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$