פתור עבור x, y
x=1
y=1
גרף
שתף
הועתק ללוח
4x-3y=1,5x+2y=7
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
4x-3y=1
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
4x=3y+1
הוסף 3y לשני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)
חלק את שני האגפים ב- 4.
x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}
הכפל את \frac{1}{4} ב- 3y+1.
5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2y=7
השתמש ב- \frac{3y+1}{4} במקום x במשוואה השניה, 5x+2y=7.
\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7
הכפל את 5 ב- \frac{3y+1}{4}.
\frac{23}{4}y+\frac{5}{4}=7
הוסף את \frac{15y}{4} ל- 2y.
\frac{23}{4}y=\frac{23}{4}
החסר \frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.
y=1
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{23}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=\frac{3+1}{4}
השתמש ב- 1 במקום y ב- x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=1
הוסף את \frac{1}{4} ל- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=1,y=1
המערכת נפתרה כעת.
4x-3y=1,5x+2y=7
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}+\frac{3}{23}\times 7\\-\frac{5}{23}+\frac{4}{23}\times 7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=1,y=1
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
4x-3y=1,5x+2y=7
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 2y=4\times 7
כדי להפוך את 4x ו- 5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 4.
20x-15y=5,20x+8y=28
פשט.
20x-20x-15y-8y=5-28
החסר את 20x+8y=28 מ- 20x-15y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-15y-8y=5-28
הוסף את 20x ל- -20x. האיברים 20x ו- -20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-23y=5-28
הוסף את -15y ל- -8y.
-23y=-23
הוסף את 5 ל- -28.
y=1
חלק את שני האגפים ב- -23.
5x+2=7
השתמש ב- 1 במקום y ב- 5x+2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
5x=5
החסר 2 משני אגפי המשוואה.
x=1
חלק את שני האגפים ב- 5.
x=1,y=1
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}