פתור את {l}{4x-2y=5}{3x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-2y=5$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=2y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎2y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+\frac{5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-4y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{2}+\frac{5}{4}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-4y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

החסר ‎\frac{15}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-\frac{9}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{9}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

פשט.

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

החסר את ‎12x-16y=60 מ- ‎12x-6y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+16y=15-60$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎16y.

$$10y=15-60$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-60.

$$10y=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{2} במקום y ב- ‎3x-4y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{9}{2}.

$$3x+18=15$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$