פתור את {l}{4x=y}{3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = y } \\ { 3 x = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-y=0,3x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-y=0$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}y$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-y=0.

$$3\times \frac{1}{4}y-y=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{4}.

$$\frac{3}{4}y-y=0$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎-y.

$$-\frac{1}{4}y=0$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-y=0,3x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$4x-y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-y=0,3x-y=0$$

החסר את ‎3x-y=0 מ- ‎4x-y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-3x-y+y=0$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-3x=0$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-3x.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎3x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=0$$