פתור את {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y+3-x=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y-x=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-3y=0$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=3y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎3y.

$$x=\frac{3}{4}y$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+y=-3.

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{1}{4}y=-3$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-12$$

השתמש ב- ‎-12 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{4}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

הכפל את ‎\frac{3}{4} ב- ‎-12.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y+3-x=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y-x=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-9,y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y+3-x=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$y-x=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

פשט.

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

החסר את ‎-4x+4y=-12 מ- ‎-4x+3y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-4y=12$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-4y.

$$-y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-12$$

השתמש ב- ‎-12 במקום y ב- ‎-x+y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-12=-3$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-9,y=-12$$