פתור את {l}{4x=3y+3}{x=y-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y + 3 } \\ { x = y - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-3y=3$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=3y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎3+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{3+3y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=-1.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}-y=-1$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎-y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}=-1$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{7}{4}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}$$

הכפל את ‎\frac{3}{4} ב- ‎7.

$$x=\frac{21+3}{4}$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎\frac{21}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-3\left(-1\right)\\3-4\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=3$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$x-y=-1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x-3y=3,4x+4\left(-1\right)y=4\left(-1\right)$$

פשט.

$$4x-3y=3,4x-4y=-4$$

החסר את ‎4x-4y=-4 מ- ‎4x-3y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x-3y+4y=3+4$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y+4y=3+4$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎4y.

$$y=3+4$$

הוסף את ‎3 ל- ‎4.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x-y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-7=-1$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=7$$