פתור את {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+y=15$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+15}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

הכפל את ‎19 ב- ‎\frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

הוסף את ‎-\frac{19y}{4} ל- ‎5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

החסר ‎\frac{285}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-165$$

השתמש ב- ‎-165 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

הוסף את ‎\frac{15}{4} ל- ‎\frac{165}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=45$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=45,y=-165$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=45,y=-165$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎19x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎19 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

פשט.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

החסר את ‎76x+20y=120 מ- ‎76x+19y=285 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

הוסף את ‎76x ל- ‎-76x. האיברים ‎76x ו- ‎-76x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$19y-20y=285-120$$

הוסף את ‎19y ל- ‎-20y.

$$-y=285-120$$

הוסף את ‎285 ל- ‎-120.

$$-y=165$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-165$$

השתמש ב- ‎-165 במקום y ב- ‎19x+5y=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-165.

$$19x-825=30$$

הוסף ‎825 לשני אגפי המשוואה.

$$19x=855$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$x=45$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=45,y=-165$$