פתור את {l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+9y=28$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-9y+28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-9y+28.

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

השתמש ב- ‎-\frac{9y}{4}+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x-y=-28.

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{9y}{4}+7.

$$9y-28-y=-28$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-y.

$$8y-28=-28$$

הוסף ‎28 לשני אגפי המשוואה.

$$8y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{9}{4}y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

פשט.

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

החסר את ‎-16x-4y=-112 מ- ‎-16x-36y=-112 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

הוסף את ‎-16x ל- ‎16x. האיברים ‎-16x ו- ‎16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-36y+4y=-112+112$$

הוסף את ‎-36y ל- ‎4y.

$$-32y=-112+112$$

הוסף את ‎-112 ל- ‎112.

$$-32y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-32.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎-4x-y=-28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=0$$