פתור את {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=7$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y+7.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+7}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=9.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-5y+7}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{4} ל- ‎-2y.

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

החסר ‎\frac{21}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{23}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{15}{23}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{23} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎-\frac{15}{23} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

הוסף את ‎\frac{7}{4} ל- ‎\frac{75}{92} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{59}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

פשט.

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

החסר את ‎12x-8y=36 מ- ‎12x+15y=21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+8y=21-36$$

הוסף את ‎15y ל- ‎8y.

$$23y=21-36$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-36.

$$23y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎23.

$$y=-\frac{15}{23}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{23} במקום y ב- ‎3x-2y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{15}{23}.

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

החסר ‎\frac{30}{23} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{177}{23}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{59}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$