פתור את {l}{4x+5y=3}{2x-3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 3 } \\ { 2 x - 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{29}{22} = 1\frac{7}{22} \approx 1.318181818$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=3$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y+3.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+3}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=4.

$$2\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-5y+3}{4}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}-3y=4$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎-3y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{5}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎-\frac{5}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{25}{44}+\frac{3}{4}$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎\frac{25}{44} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{29}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 3+\frac{5}{22}\times 4\\\frac{1}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2\times 5y=2\times 3,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4$$

פשט.

$$8x+10y=6,8x-12y=16$$

החסר את ‎8x-12y=16 מ- ‎8x+10y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+10y+12y=6-16$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y+12y=6-16$$

הוסף את ‎10y ל- ‎12y.

$$22y=6-16$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-16.

$$22y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{11} במקום y ב- ‎2x-3y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3\left(-\frac{5}{11}\right)=4$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-\frac{5}{11}.

$$2x+\frac{15}{11}=4$$

החסר ‎\frac{15}{11} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{29}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{29}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$