פתור את {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=2$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y+2.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{4} ל- ‎4y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎-2.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

פשט.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

החסר את ‎12x+16y=4 מ- ‎12x+15y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-16y=6-4$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-16y.

$$-y=6-4$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-4.

$$-y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎3x+4y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2.

$$3x-8=1$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$