פתור את {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=1$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+1}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

הוסף את ‎-\frac{25y}{4} ל- ‎-7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{53}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1}{53}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{53} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎\frac{1}{53} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{4} ל- ‎-\frac{5}{212} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{12}{53}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

פשט.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

החסר את ‎20x-28y=4 מ- ‎20x+25y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y+28y=5-4$$

הוסף את ‎25y ל- ‎28y.

$$53y=5-4$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-4.

$$53y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎53.

$$y=\frac{1}{53}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{53} במקום y ב- ‎5x-7y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎\frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

הוסף ‎\frac{7}{53} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{60}{53}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{12}{53}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$