פתור את {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+5y=0$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-5y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-15y.

$$-25y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$y=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{4}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎\frac{1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

פשט.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

החסר את ‎32x-60y=-20 מ- ‎32x+40y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

הוסף את ‎32x ל- ‎-32x. האיברים ‎32x ו- ‎-32x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$40y+60y=20$$

הוסף את ‎40y ל- ‎60y.

$$100y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎100.

$$y=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום y ב- ‎8x-15y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

הכפל את ‎-15 ב- ‎\frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$