פתור את {l}{4x+3y=21}{2x+6y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 21 } \\ { 2 x + 6 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=21,2x+6y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=21$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+21\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+21.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+21}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+6y=9.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}\right)+6y=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-3y+21}{4}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}+6y=9$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎6y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{21}{2}=9$$

החסר ‎\frac{21}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{3}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{21}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-\frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1+21}{4}$$

הוסף את ‎\frac{21}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{11}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{2},y=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=21,2x+6y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 6-3\times 2}&\frac{4}{4\times 6-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 21-\frac{1}{6}\times 9\\-\frac{1}{9}\times 21+\frac{2}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{2},y=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=21,2x+6y=9$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 21,4\times 2x+4\times 6y=4\times 9$$

פשט.

$$8x+6y=42,8x+24y=36$$

החסר את ‎8x+24y=36 מ- ‎8x+6y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+6y-24y=42-36$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-24y=42-36$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-24y.

$$-18y=42-36$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-36.

$$-18y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום y ב- ‎2x+6y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+6\left(-\frac{1}{3}\right)=9$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{1}{3}.

$$2x-2=9$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{11}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{2},y=-\frac{1}{3}$$