פתור את {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=13$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+13}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+6y=26.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+13}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{4} ל- ‎6y.

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

החסר ‎\frac{39}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{15}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎\frac{13}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

הוסף את ‎\frac{13}{4} ל- ‎-\frac{13}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

פשט.

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

החסר את ‎12x+24y=104 מ- ‎12x+9y=39 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-24y=39-104$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-24y.

$$-15y=39-104$$

הוסף את ‎39 ל- ‎-104.

$$-15y=-65$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{3} במקום y ב- ‎3x+6y=26. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{13}{3}.

$$3x+26=26$$

החסר ‎26 משני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$