פתור את {l}{4x+3y=0}{3y+3x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 0 } \\ { 3 y + 3 x = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=0$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{3}{4}\right)y+3y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+3y=1$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{4} ל- ‎3y.

$$\frac{3}{4}y=1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎\frac{4}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

החסר את ‎3x+3y=1 מ- ‎4x+3y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-3x+3y-3y=-1$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-3x=-1$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-3x.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎3x+3y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\left(-1\right)+3y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-1.

$$-3+3y=1$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$