פתור את {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=18$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+9}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

הוסף ‎\frac{27}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=-9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

פשט.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

החסר את ‎-12x-24y=108 מ- ‎-12x-6y=-54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+24y=-54-108$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎24y.

$$18y=-54-108$$

הוסף את ‎-54 ל- ‎-108.

$$18y=-162$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=-9$$

השתמש ב- ‎-9 במקום y ב- ‎-3x-6y=27. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-9.

$$-3x+54=27$$

החסר ‎54 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=-9$$