פתור את {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=12$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{2} ל- ‎18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{29}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{4}{29}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{29} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-\frac{4}{29} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

פשט.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

החסר את ‎28x+72y=76 מ- ‎28x+14y=84 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$14y-72y=84-76$$

הוסף את ‎14y ל- ‎-72y.

$$-58y=84-76$$

הוסף את ‎84 ל- ‎-76.

$$-58y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4}{29} במקום y ב- ‎7x+18y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

הכפל את ‎18 ב- ‎-\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

הוסף ‎\frac{72}{29} לשני אגפי המשוואה.

$$7x=\frac{623}{29}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{89}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$