פתור את {l}{4x+12y=-24}{-8x-20y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 12 y = - 24 } \\ { - 8 x - 20 y = 36 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+12y=-24$$

החסר ‎12y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-12y-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-12y-24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-12y-24.

$$x=-3y-6$$

השתמש ב- ‎-3y-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x-20y=36.

$$-8\left(-3y-6\right)-20y=36$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-3y-6.

$$24y+48-20y=36$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-20y.

$$4y+48=36$$

החסר ‎48 משני אגפי המשוואה.

$$4y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-3y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\left(-3\right)-6$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-3.

$$x=9-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎9.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&-\frac{12}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&\frac{4}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\left(-24\right)-\frac{3}{4}\times 36\\\frac{1}{2}\left(-24\right)+\frac{1}{4}\times 36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-8\times 4x-8\times 12y=-8\left(-24\right),4\left(-8\right)x+4\left(-20\right)y=4\times 36$$

פשט.

$$-32x-96y=192,-32x-80y=144$$

החסר את ‎-32x-80y=144 מ- ‎-32x-96y=192 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-32x+32x-96y+80y=192-144$$

הוסף את ‎-32x ל- ‎32x. האיברים ‎-32x ו- ‎32x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-96y+80y=192-144$$

הוסף את ‎-96y ל- ‎80y.

$$-16y=192-144$$

הוסף את ‎192 ל- ‎-144.

$$-16y=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎-8x-20y=36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x-20\left(-3\right)=36$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-3.

$$-8x+60=36$$

החסר ‎60 משני אגפי המשוואה.

$$-8x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-3$$