פתור את {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור b, c

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור b על-ידי בידוד b בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4b+4c=-5$$

החסר ‎4c משני אגפי המשוואה.

$$4b=-4c-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-4c-5.

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎-c-\frac{5}{4} במקום ‎b במשוואה השניה, ‎4b+5c=-6.

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-c-\frac{5}{4}.

$$-4c-5+5c=-6$$

הוסף את ‎-4c ל- ‎5c.

$$c-5=-6$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$c=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום c ב- ‎b=-c-\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-1.

$$b=1-\frac{5}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{4} ל- ‎1.

$$b=-\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה b ו- c.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

החסר את ‎4b+5c=-6 מ- ‎4b+4c=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

הוסף את ‎4b ל- ‎-4b. האיברים ‎4b ו- ‎-4b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4c-5c=-5+6$$

הוסף את ‎4c ל- ‎-5c.

$$-c=-5+6$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎6.

$$-c=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$c=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום c ב- ‎4b+5c=-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-1.

$$4b-5=-6$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$4b=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=-\frac{1}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$