פתור את {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a_{1} על-ידי בידוד a_{1} בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4a_{1}+6d=3$$

החסר ‎6d משני אגפי המשוואה.

$$4a_{1}=-6d+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} במקום ‎a_{1} במשוואה השניה, ‎3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

הוסף את ‎-\frac{9d}{2} ל- ‎21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

החסר ‎\frac{9}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{33}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$d=\frac{7}{66}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{66} במקום d ב- ‎a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a_{1} ישירות.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{7}{66} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎-\frac{7}{44} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a_{1} ו- d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

כדי להפוך את ‎4a_{1} ו- ‎3a_{1} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

פשט.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

החסר את ‎12a_{1}+84d=16 מ- ‎12a_{1}+18d=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

הוסף את ‎12a_{1} ל- ‎-12a_{1}. האיברים ‎12a_{1} ו- ‎-12a_{1} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18d-84d=9-16$$

הוסף את ‎18d ל- ‎-84d.

$$-66d=9-16$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-16.

$$-66d=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-66.

$$d=\frac{7}{66}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{66} במקום d ב- ‎3a_{1}+21d=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a_{1} ישירות.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

הכפל את ‎21 ב- ‎\frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

החסר ‎\frac{49}{22} משני אגפי המשוואה.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$