פתור את {l}{4a-2b+6=0}{16a+4b+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a - 2 b + 6 = 0 } \\ { 16 a + 4 b + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4a-2b+6=0,16a+4b+6=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4a-2b+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$4a-2b=-6$$

הוסף ‎2b לשני אגפי המשוואה.

$$4a=2b-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=\frac{1}{4}\left(2b-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-6+2b.

$$a=\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3+b}{2} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎16a+4b+6=0.

$$16\left(\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}\right)+4b+6=0$$

הכפל את ‎16 ב- ‎\frac{-3+b}{2}.

$$8b-24+4b+6=0$$

הוסף את ‎8b ל- ‎4b.

$$12b-24+6=0$$

הוסף את ‎-24 ל- ‎6.

$$12b-18=0$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$12b=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$b=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום b ב- ‎a=\frac{1}{2}b-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}-\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎\frac{3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎\frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-\frac{3}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\frac{3}{4},b=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4a-2b+6=0,16a+4b+6=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-2\times 16\right)}&-\frac{-2}{4\times 4-\left(-2\times 16\right)}\\-\frac{16}{4\times 4-\left(-2\times 16\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-2\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{24}\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{12}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-\frac{3}{4},b=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4a-2b+6=0,16a+4b+6=0$$

כדי להפוך את ‎4a ו- ‎16a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎16 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$16\times 4a+16\left(-2\right)b+16\times 6=0,4\times 16a+4\times 4b+4\times 6=0$$

פשט.

$$64a-32b+96=0,64a+16b+24=0$$

החסר את ‎64a+16b+24=0 מ- ‎64a-32b+96=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$64a-64a-32b-16b+96-24=0$$

הוסף את ‎64a ל- ‎-64a. האיברים ‎64a ו- ‎-64a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-32b-16b+96-24=0$$

הוסף את ‎-32b ל- ‎-16b.

$$-48b+96-24=0$$

הוסף את ‎96 ל- ‎-24.

$$-48b+72=0$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$-48b=-72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-48.

$$b=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום b ב- ‎16a+4b+6=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$16a+4\times \frac{3}{2}+6=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3}{2}.

$$16a+6+6=0$$

הוסף את ‎6 ל- ‎6.

$$16a+12=0$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$16a=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$a=-\frac{3}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\frac{3}{4},b=\frac{3}{2}$$