פתור את {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4a+5b=9$$

החסר ‎5b משני אגפי המשוואה.

$$4a=-5b+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5b+9}{4} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

הוסף את ‎-\frac{5b}{2} ל- ‎-b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=-\frac{5}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{7} במקום b ב- ‎a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{4} ב- ‎-\frac{5}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎\frac{25}{28} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{22}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

כדי להפוך את ‎4a ו- ‎2a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

פשט.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

החסר את ‎8a-4b=28 מ- ‎8a+10b=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

הוסף את ‎8a ל- ‎-8a. האיברים ‎8a ו- ‎-8a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10b+4b=18-28$$

הוסף את ‎10b ל- ‎4b.

$$14b=18-28$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-28.

$$14b=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$b=-\frac{5}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{7} במקום b ב- ‎2a-b=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

החסר ‎\frac{5}{7} משני אגפי המשוואה.

$$2a=\frac{44}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=\frac{22}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$