פתור את {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

פתור עבור A, D

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3A-9D=4$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$8A-8D=2$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3A-9D=4$$

הוסף ‎9D לשני אגפי המשוואה.

$$3A=9D+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎3D+\frac{4}{3} במקום ‎A במשוואה השניה, ‎8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

הכפל את ‎8 ב- ‎3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

הוסף את ‎24D ל- ‎-8D.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

החסר ‎\frac{32}{3} משני אגפי המשוואה.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$D=-\frac{13}{24}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{24} במקום D ב- ‎A=3D+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-\frac{13}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$A=-\frac{7}{24}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3A-9D=4$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$8A-8D=2$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה A ו- D.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$3A-9D=4$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$8A-8D=2$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

כדי להפוך את ‎3A ו- ‎8A לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

פשט.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

החסר את ‎24A-24D=6 מ- ‎24A-72D=32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

הוסף את ‎24A ל- ‎-24A. האיברים ‎24A ו- ‎-24A מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-72D+24D=32-6$$

הוסף את ‎-72D ל- ‎24D.

$$-48D=32-6$$

הוסף את ‎32 ל- ‎-6.

$$-48D=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-48.

$$D=-\frac{13}{24}$$

השתמש ב- ‎-\frac{13}{24} במקום D ב- ‎8A-8D=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

החסר ‎\frac{13}{3} משני אגפי המשוואה.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$A=-\frac{7}{24}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$