פתור את {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$36x-5y=7$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$36x=5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎36.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{36} ב- ‎5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+7}{36} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

הוסף את ‎\frac{5y}{6} ל- ‎3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

החסר ‎\frac{7}{6} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{23}{6}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{41}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{23} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

הכפל את ‎\frac{5}{36} ב- ‎\frac{41}{23} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

הוסף את ‎\frac{7}{36} ל- ‎\frac{205}{828} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{61}{138}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

כדי להפוך את ‎36x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎36.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

פשט.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

החסר את ‎216x+108y=288 מ- ‎216x-30y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

הוסף את ‎216x ל- ‎-216x. האיברים ‎216x ו- ‎-216x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-30y-108y=42-288$$

הוסף את ‎-30y ל- ‎-108y.

$$-138y=42-288$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-288.

$$-138y=-246$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-138.

$$y=\frac{41}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{23} במקום y ב- ‎6x+3y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

החסר ‎\frac{123}{23} משני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{61}{23}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{61}{138}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$