פתור את {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$3y-6-x=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3y-x=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-9-2y=0$$

הוסף ‎9 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$x-2y=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3y-x=6$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$3y=x+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

השתמש ב- ‎\frac{x}{3}+2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{3} ל- ‎x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=13$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=39$$

השתמש ב- ‎39 במקום x ב- ‎y=\frac{1}{3}x+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎39.

$$y=13+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎13.

$$y=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=15,x=39$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$3y-6-x=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3y-x=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-9-2y=0$$

הוסף ‎9 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$x-2y=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=15,x=39$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$3y-6-x=0$$

הוסף ‎6 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3y-x=6$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x-9-2y=0$$

הוסף ‎9 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$x-2y=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

כדי להפוך את ‎3y ו- ‎-2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

פשט.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

החסר את ‎-6y+3x=27 מ- ‎-6y+2x=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎6y. האיברים ‎-6y ו- ‎6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-3x=-12-27$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-3x.

$$-x=-12-27$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-27.

$$-x=-39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=39$$

השתמש ב- ‎39 במקום x ב- ‎-2y+x=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-2y+39=9$$

החסר ‎39 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=15$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=15,x=39$$