פתור את {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3y+x=31$$

החסר ‎x משני אגפי המשוואה.

$$3y=-x+31$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-x+31}{3} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{3} ל- ‎3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

החסר ‎\frac{62}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

הוסף את ‎\frac{31}{3} ל- ‎-\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=7,x=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=7,x=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

כדי להפוך את ‎3y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

פשט.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

החסר את ‎6y+9x=132 מ- ‎6y+2x=62 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-9x=62-132$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-9x.

$$-7x=62-132$$

הוסף את ‎62 ל- ‎-132.

$$-7x=-70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎2y+3x=44. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+3\times 10=44$$

הכפל את ‎3 ב- ‎10.

$$2y+30=44$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$2y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=7,x=10$$