פתור את {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3y+2x=75$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$3y=-2x+75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

השתמש ב- ‎-\frac{2x}{3}+25 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{3} ל- ‎x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=25$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=75$$

השתמש ב- ‎75 במקום x ב- ‎y=-\frac{2}{3}x+25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎75.

$$y=-50+25$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-50.

$$y=-25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-25,x=75$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-25,x=75$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

כדי להפוך את ‎3y ו- ‎y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

פשט.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

החסר את ‎3y+3x=150 מ- ‎3y+2x=75 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-3x=75-150$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-3x.

$$-x=75-150$$

הוסף את ‎75 ל- ‎-150.

$$-x=-75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=75$$

השתמש ב- ‎75 במקום x ב- ‎y+x=50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+75=50$$

החסר ‎75 משני אגפי המשוואה.

$$y=-25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-25,x=75$$