פתור את {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y-8=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-8.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

הוסף ‎\frac{20}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

פשט.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

החסר את ‎6x+3y-24=0 מ- ‎6x-2y-4=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-3y-4+24=0$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-3y.

$$-5y-4+24=0$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎24.

$$-5y+20=0$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎2x+y-8=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+4-8=0$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-8.

$$2x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=4$$