פתור את {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-9-y=0$$

הוסף ‎9 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x-y=9$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$9y+3-x=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$9y-x=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=9$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{3}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+9y=-3.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{y}{3} ל- ‎9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{26}{3}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{26}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-9-y=0$$

הוסף ‎9 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x-y=9$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$9y+3-x=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$9y-x=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-9-y=0$$

הוסף ‎9 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x-y=9$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$9y+3-x=0$$

החסר ‎3 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$9y-x=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

פשט.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

החסר את ‎-3x+27y=-9 מ- ‎-3x+y=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-27y=-9+9$$

הוסף את ‎y ל- ‎-27y.

$$-26y=-9+9$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎9.

$$-26y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎-x+9y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=0$$