פתור את {l}{3x-7y=2}{-5x+2y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 2 } \\ { - 5 x + 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-7y=2$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=7y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎7y+2.

$$x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y+2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+2y=-13.

$$-5\left(\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=-13$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{7y+2}{3}.

$$-\frac{35}{3}y-\frac{10}{3}+2y=-13$$

הוסף את ‎-\frac{35y}{3} ל- ‎2y.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{10}{3}=-13$$

הוסף ‎\frac{10}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{29}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{29}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎\frac{7}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&-\frac{-7}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}&-\frac{7}{29}\\-\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}\times 2-\frac{7}{29}\left(-13\right)\\-\frac{5}{29}\times 2-\frac{3}{29}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-5\times 3x-5\left(-7\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\left(-13\right)$$

פשט.

$$-15x+35y=-10,-15x+6y=-39$$

החסר את ‎-15x+6y=-39 מ- ‎-15x+35y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x+35y-6y=-10+39$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$35y-6y=-10+39$$

הוסף את ‎35y ל- ‎-6y.

$$29y=-10+39$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎39.

$$29y=29$$

חלק את שני האגפים ב- ‎29.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-5x+2y=-13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+2=-13$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$