פתור את {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=-6$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{3}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

הוסף את ‎\frac{10y}{3} ל- ‎-3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-3.

$$x=-5-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-5.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-7,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

פשט.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

החסר את ‎6x-9y=-15 מ- ‎6x-10y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y+9y=-12+15$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎9y.

$$-y=-12+15$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎15.

$$-y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎2x-3y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-3.

$$2x+9=-5$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=-3$$