פתור את {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=-18$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{3}-6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=9.

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-2y.

$$3y-18=9$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎9.

$$x=15-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎15.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

החסר את ‎3x-2y=9 מ- ‎3x-5y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y+2y=-18-9$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎2y.

$$-3y=-18-9$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎-9.

$$-3y=-27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎3x-2y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 9=9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎9.

$$3x-18=9$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=9$$