פתור את {l}{3x-4y=2}{2y-5x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 2 } \\ { 2 y - 5 x = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-4y=2,-5x+2y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-4y=2$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=4y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4y+2.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y+2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+2y=6.

$$-5\left(\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=6$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{4y+2}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{10}{3}+2y=6$$

הוסף את ‎-\frac{20y}{3} ל- ‎2y.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{10}{3}=6$$

הוסף ‎\frac{10}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{14}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-4y=2,-5x+2y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 2-\frac{2}{7}\times 6\\-\frac{5}{14}\times 2-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-4y=2,-5x+2y=6$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-5\times 3x-5\left(-4\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\times 6$$

פשט.

$$-15x+20y=-10,-15x+6y=18$$

החסר את ‎-15x+6y=18 מ- ‎-15x+20y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x+20y-6y=-10-18$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-6y=-10-18$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-6y.

$$14y=-10-18$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎-18.

$$14y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-5x+2y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+2\left(-2\right)=6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$-5x-4=6$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-5x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-2$$