פתור את {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-3y=2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=3y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎3y+2.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎y+\frac{2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+7y=-3.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎y+\frac{2}{3}.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

הוסף את ‎4y ל- ‎7y.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=-\frac{17}{33}$$

השתמש ב- ‎-\frac{17}{33} במקום y ב- ‎x=y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{17}{33} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{33}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

פשט.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

החסר את ‎12x+21y=-9 מ- ‎12x-12y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-21y=8+9$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-21y.

$$-33y=8+9$$

הוסף את ‎8 ל- ‎9.

$$-33y=17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-33.

$$y=-\frac{17}{33}$$

השתמש ב- ‎-\frac{17}{33} במקום y ב- ‎4x+7y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{17}{33}.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

הוסף ‎\frac{119}{33} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{20}{33}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{5}{33}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$