פתור את {l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,6,2.

$$2x-y=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=6$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=3.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎-y.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-3.

$$x=-2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-2.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,6,2.

$$2x-y=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,6,2.

$$2x-y=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

פשט.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

החסר את ‎6x-3y=9 מ- ‎6x-4y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y+3y=12-9$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎3y.

$$-y=12-9$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-9.

$$-y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎2x-y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$2x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-3$$