פתור את {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=5$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+5}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

הוסף את ‎-\frac{5}{3} ל- ‎-5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

הוסף ‎\frac{20}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{47}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{47}{4} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎\frac{47}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎\frac{47}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{19}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

פשט.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

החסר את ‎-3x+6y-15=27 מ- ‎-3x+2y=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-6y+15=-5-27$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-6y.

$$-4y+15=-5-27$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎-27.

$$-4y+15=-32$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-47$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=\frac{47}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{47}{4} במקום y ב- ‎-x+2y-5=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

הוסף את ‎\frac{47}{2} ל- ‎-5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

החסר ‎\frac{37}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=\frac{19}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$