פתור את {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$3x-2y=-3$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

הוסף את ‎\frac{8y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎-47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

הוסף ‎51 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{3}y=51$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎9.

$$x=6-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎6.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

פשט.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

החסר את ‎12x+9y-141=0 מ- ‎12x-8y+12=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8y-9y+12+141=0$$

הוסף את ‎-8y ל- ‎-9y.

$$-17y+12+141=0$$

הוסף את ‎12 ל- ‎141.

$$-17y+153=0$$

החסר ‎153 משני אגפי המשוואה.

$$-17y=-153$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎4x+3y-47=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+3\times 9-47=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎9.

$$4x+27-47=0$$

הוסף את ‎27 ל- ‎-47.

$$4x-20=0$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=9$$