פתור את {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x-13+y=0$$

הוסף ‎13 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x+y=13$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=13$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+13}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+9y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

החסר ‎\frac{26}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

הוסף את ‎\frac{13}{3} ל- ‎\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x-13+y=0$$

הוסף ‎13 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x+y=13$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎y משני הצדדים.

$$3x-13+y=0$$

הוסף ‎13 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3x+y=13$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

פשט.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

החסר את ‎6x+27y=-24 מ- ‎6x+2y=26 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-27y=26+24$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-27y.

$$-25y=26+24$$

הוסף את ‎26 ל- ‎24.

$$-25y=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎2x+9y=-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-2.

$$2x-18=-8$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-2$$