פתור את {l}{3x+y=4}{6x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 6 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=4,6x+y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+4}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+y=4.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=4$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-y+4}{3}.

$$-2y+8+y=4$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎y.

$$-y+8=4$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{-4+4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=4,6x+y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{1}{3-6}\\-\frac{6}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 4\\2\times 4-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=4,6x+y=4$$

החסר את ‎6x+y=4 מ- ‎3x+y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-6x+y-y=4-4$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-6x=4-4$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-6x.

$$-3x=4-4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-4.

$$-3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎6x+y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=4$$