פתור את {l}{3x+y=10}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 10 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=10,4x-y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=10$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+10.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+10}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=4.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=4$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-y+10}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{40}{3}-y=4$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{40}{3}=4$$

החסר ‎\frac{40}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{28}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{10}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=10,4x-y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 4\\\frac{4}{7}\times 10-\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=10,4x-y=4$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

פשט.

$$12x+4y=40,12x-3y=12$$

החסר את ‎12x-3y=12 מ- ‎12x+4y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+4y+3y=40-12$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+3y=40-12$$

הוסף את ‎4y ל- ‎3y.

$$7y=40-12$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-12.

$$7y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎4x-y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-4=4$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=4$$