פתור את {l}{3x+y=1}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=1,x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=2.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{y}{3} ל- ‎y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=2$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{3}y=\frac{5}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{5}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=1,x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=1,x+y=2$$

החסר את ‎x+y=2 מ- ‎3x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-x+y-y=1-2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-x=1-2$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-x.

$$2x=1-2$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-2.

$$2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום x ב- ‎x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-\frac{1}{2}+y=2$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$