פתור את {l}{3x+y=0}{2x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{6}{17}\approx 0.352941176$$

$$y = -\frac{18}{17} = -1\frac{1}{17} \approx -1.058823529$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=0$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y.

$$x=-\frac{1}{3}y$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-5y=6.

$$2\left(-\frac{1}{3}\right)y-5y=6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-5y=6$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎-5y.

$$-\frac{17}{3}y=6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{18}{17}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{17} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{18}{17}\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{18}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{6}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 6\\-\frac{3}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\\-\frac{18}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=0,2x-5y=6$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 6$$

פשט.

$$6x+2y=0,6x-15y=18$$

החסר את ‎6x-15y=18 מ- ‎6x+2y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+2y+15y=-18$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+15y=-18$$

הוסף את ‎2y ל- ‎15y.

$$17y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=-\frac{18}{17}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{17} במקום y ב- ‎2x-5y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-5\left(-\frac{18}{17}\right)=6$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-\frac{18}{17}.

$$2x+\frac{90}{17}=6$$

החסר ‎\frac{90}{17} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{12}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{6}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{17},y=-\frac{18}{17}$$