פתור את {l}{3x+7y=10}{4x-19y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 10 } \\ { 4 x - 19 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{239}{85} = 2\frac{69}{85} \approx 2.811764706$$

$$y=\frac{19}{85}\approx 0.223529412$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+7y=10$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-7y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-7y+10.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+10}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-19y=7.

$$4\left(-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}\right)-19y=7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-7y+10}{3}.

$$-\frac{28}{3}y+\frac{40}{3}-19y=7$$

הוסף את ‎-\frac{28y}{3} ל- ‎-19y.

$$-\frac{85}{3}y+\frac{40}{3}=7$$

החסר ‎\frac{40}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{85}{3}y=-\frac{19}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{85}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{19}{85}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{85} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{3}y+\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{3}\times \frac{19}{85}+\frac{10}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{3} ב- ‎\frac{19}{85} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{133}{255}+\frac{10}{3}$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎-\frac{133}{255} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{239}{85}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\4&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{3\left(-19\right)-7\times 4}&-\frac{7}{3\left(-19\right)-7\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-19\right)-7\times 4}&\frac{3}{3\left(-19\right)-7\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}&\frac{7}{85}\\\frac{4}{85}&-\frac{3}{85}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{85}\times 10+\frac{7}{85}\times 7\\\frac{4}{85}\times 10-\frac{3}{85}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{239}{85}\\\frac{19}{85}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+7y=10,4x-19y=7$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\times 7y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-19\right)y=3\times 7$$

פשט.

$$12x+28y=40,12x-57y=21$$

החסר את ‎12x-57y=21 מ- ‎12x+28y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+28y+57y=40-21$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$28y+57y=40-21$$

הוסף את ‎28y ל- ‎57y.

$$85y=40-21$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-21.

$$85y=19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎85.

$$y=\frac{19}{85}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{85} במקום y ב- ‎4x-19y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-19\times \frac{19}{85}=7$$

הכפל את ‎-19 ב- ‎\frac{19}{85}.

$$4x-\frac{361}{85}=7$$

הוסף ‎\frac{361}{85} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{956}{85}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{239}{85}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{239}{85},y=\frac{19}{85}$$