פתור את {l}{3x+6y=210}{x/4+y/5=sqrt{210}}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 210 } \\ { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 5 } = \sqrt { 210 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{20 \sqrt{210} - 140}{3} \approx 49.942511641$$

$$y = \frac{175 - 10 \sqrt{210}}{3} \approx 10.028744179$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+6y=210,\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+6y=210$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-6y+210$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+210\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-6y+210.

$$x=-2y+70$$

השתמש ב- ‎-2y+70 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}.

$$\frac{1}{4}\left(-2y+70\right)+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+70.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{35}{2}+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎\frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{35}{2}=\sqrt{210}$$

החסר ‎\frac{35}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{10}y=\sqrt{210}-\frac{35}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-10\sqrt{210}+175}{3} במקום y ב- ‎x=-2y+70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{175-10\sqrt{210}}{3}+70$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{-10\sqrt{210}+175}{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-350}{3}+70$$

הוסף את ‎70 ל- ‎\frac{20\sqrt{210}-350}{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3},y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+6y=210,\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎\frac{x}{4} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{1}{4} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$\frac{1}{4}\times 3x+\frac{1}{4}\times 6y=\frac{1}{4}\times 210,3\times \frac{1}{4}x+3\times \frac{1}{5}y=3\sqrt{210}$$

פשט.

$$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y=\frac{105}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{5}y=3\sqrt{210}$$

החסר את ‎\frac{3}{4}x+\frac{3}{5}y=3\sqrt{210} מ- ‎\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y=\frac{105}{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y-\frac{3}{5}y=\frac{105}{2}-3\sqrt{210}$$

הוסף את ‎\frac{3x}{4} ל- ‎-\frac{3x}{4}. האיברים ‎\frac{3x}{4} ו- ‎-\frac{3x}{4} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{3}{2}y-\frac{3}{5}y=\frac{105}{2}-3\sqrt{210}$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-\frac{3y}{5}.

$$\frac{9}{10}y=\frac{105}{2}-3\sqrt{210}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{175-10\sqrt{210}}{3} במקום y ב- ‎\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}\times \frac{175-10\sqrt{210}}{3}=\sqrt{210}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎\frac{175-10\sqrt{210}}{3}.

$$\frac{1}{4}x+\frac{35-2\sqrt{210}}{3}=\sqrt{210}$$

החסר ‎\frac{-2\sqrt{210}+35}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{4}x=\frac{5\sqrt{210}-35}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3},y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$