פתור את {l}{3x+5y=7}{2x+y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=7$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y+7.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-5y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

החסר ‎\frac{14}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{41}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎\frac{41}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-\frac{205}{21} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{52}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

פשט.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

החסר את ‎6x+3y=-27 מ- ‎6x+10y=14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-3y=14+27$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-3y.

$$7y=14+27$$

הוסף את ‎14 ל- ‎27.

$$7y=41$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{41}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{7} במקום y ב- ‎2x+y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

החסר ‎\frac{41}{7} משני אגפי המשוואה.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{52}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$