פתור את {l}{3x+5y=35}{6x-4y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 35 } \\ { 6 x - 4 y = - 28 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=35,6x-4y=-28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=35$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y+35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+35\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y+35.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+35}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=-28.

$$6\left(-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}\right)-4y=-28$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-5y+35}{3}.

$$-10y+70-4y=-28$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-4y.

$$-14y+70=-28$$

החסר ‎70 משני אגפי המשוואה.

$$-14y=-98$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y+\frac{35}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\times 7+\frac{35}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎7.

$$x=\frac{-35+35}{3}$$

הוסף את ‎\frac{35}{3} ל- ‎-\frac{35}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=35,6x-4y=-28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-5\times 6}&-\frac{5}{3\left(-4\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-4\right)-5\times 6}&\frac{3}{3\left(-4\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{5}{42}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 35+\frac{5}{42}\left(-28\right)\\\frac{1}{7}\times 35-\frac{1}{14}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=35,6x-4y=-28$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$6\times 3x+6\times 5y=6\times 35,3\times 6x+3\left(-4\right)y=3\left(-28\right)$$

פשט.

$$18x+30y=210,18x-12y=-84$$

החסר את ‎18x-12y=-84 מ- ‎18x+30y=210 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+30y+12y=210+84$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$30y+12y=210+84$$

הוסף את ‎30y ל- ‎12y.

$$42y=210+84$$

הוסף את ‎210 ל- ‎84.

$$42y=294$$

חלק את שני האגפים ב- ‎42.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎6x-4y=-28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-4\times 7=-28$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$6x-28=-28$$

הוסף ‎28 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=7$$